Словарь русский

Взаимное расположение прямых в пространстве. Задачи с прямой в пространстве. Прямая в пространстве – необходимые сведения 2 взаимное расположение двух прямых в пространстве

На этом уроке мы дадим основные определения и теоремы на тему параллельных прямых в пространстве.
В начале урока рассмотрим определение параллельных прямых в пространстве и докажем теорему о том, что через любую точку пространства можно провести только одну прямую, параллельную данной. Далее докажем лемму о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость. И с ее помощью докажем теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых

Мы уже изучали параллельные прямые в планиметрии. Теперь нужно дать определение параллельных прямых в пространстве и доказать соответствующие теоремы.

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).

Обозначение параллельных прямых: a || b.

1. Какие прямые называются параллельными?

2. Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.

3. Прямая пересекает прямые AB и BC под прямыми углами. Параллельны ли прямые AB и BC ?

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.

Не прошло и минуты, как я создал новый вёрдовский файл и продолжил столь увлекательную тему. Нужно ловить моменты рабочего настроя, поэтому лирического вступления не будет. Будет прозаическая порка =)

Две прямые пространства могут:

1) скрещиваться;

2) пересекаться в точке ;

3) быть параллельными ;

4) совпадать.

Случай № 1 принципиально отличается от других случаев. Две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости . Поднимите одну руку вверх, а другую руку вытяните вперёд – вот вам и пример скрещивающихся прямых. В пунктах же № 2-4 прямые обязательно лежат в одной плоскости .

Как выяснить взаимное расположение прямых в пространстве?

Рассмотрим две прямые пространства:

– прямую , заданную точкой и направляющим вектором ;
– прямую , заданную точкой и направляющим вектором .

Для лучшего понимания выполним схематический чертёж:

На чертеже в качестве примера изображены скрещивающиеся прямые.

Как разобраться с этими прямыми?

Так как известны точки , то легко найти вектор .

Если прямые скрещиваются , то векторы не компланарны (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ), а, значит, определитель, составленный из их координат, ненулевой. Или, что фактически то же самое, будет отлично от нуля: .

В случаях № 2-4 наша конструкция «падает» в одну плоскость, при этом векторы компланарны , а смешанное произведение линейно зависимых векторов равняется нулю: .

Раскручиваем алгоритм дальше. Предположим, что , следовательно, прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.

Если направляющие векторы коллинеарны , то прямые либо параллельны, либо совпадают. Финальным гвоздём предлагаю следующий приём: берём какую-либо точку одной прямой и подставляем её координаты в уравнение второй прямой; если координаты «подошли», то прямые совпадают, если «не подошли», то прямые параллельны.

Ход алгоритма незатейлив, но практические примеры всё равно не помешают:

Пример 11

Выяснить взаимное расположение двух прямых

Решение : как и во многих задачах геометрии, решение удобно оформить по пунктам:

1) Вытаскиваем из уравнений точки и направляющие векторы:

2) Найдём вектор:

Таким образом, векторы компланарны, а значит, прямые лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

4) Проверим направляющие векторы на коллинеарность.

Составим систему из соответствующих координат данных векторов:

Из каждого уравнения следует, что , следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны.

Вывод: прямые параллельны либо совпадают.

5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку , принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой :

Таким образом, общих точек у прямых нет, и им ничего не остаётся, как быть параллельными.

Ответ :

Интересный пример для самостоятельного решения:

Пример 12

Выяснить взаимное расположение прямых

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что у второй прямой в качестве параметра выступает буква . Логично. В общем случае – это же две различные прямые, поэтому у каждой прямой свой параметр.

И снова призываю не пропускать примеры, пороть буду предлагаемые мной задачи далеко не случайны;-)

Задачи с прямой в пространстве

В заключительной части урока я постараюсь рассмотреть максимальное количество различных задач с пространственными прямыми. При этом будет соблюдён начатый порядок повествования: сначала мы рассмотрим задачи со скрещивающимися прямыми, затем с пересекающимися прямыми, и в конце поговорим о параллельных прямых в пространстве. Однако должен сказать, что некоторые задачи данного урока можно сформулировать сразу для нескольких случаев расположения прямых, и в этой связи разбиение раздела на параграфы несколько условно. Есть более простые примеры, есть более сложные примеры, и, надеюсь, каждый найдёт то, что нужно.

Скрещивающиеся прямые

Напоминаю, что прямые скрещиваются, если не существует плоскости, в которой бы они обе лежали. Когда я продумывал практику, в голову пришла задача-монстр, и сейчас рад представить вашему вниманию дракона с четырьмя головами:

Пример 13

Даны прямые . Требуется:

а) доказать, что прямые скрещиваются;

б) найти уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно данным прямым;

в) составить уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых;

г) найти расстояние между прямыми.

Решение : Дорогу осилит идущий:

а) Докажем, что прямые скрещиваются. Найдём точки и направляющие векторы данных прямых:

Найдём вектор:

Вычислим смешанное произведение векторов :

Таким образом, векторы не компланарны , а значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать.

Наверное, все уже давно подметили, что для скрещивающихся прямых алгоритм проверки получается короче всего.

б) Найдём уравнения прямой , которая проходит через точку и перпендикулярна прямым . Выполним схематический чертёж:

Для разнообразия я разместил прямую ЗА прямыми , посмотрите, как она немного стёрта в точках скрещивания. Скрещивания? Да, в общем случае прямая «дэ» будет скрещиваться с исходными прямыми. Хотя данный момент нас пока не интересует, надо просто построить перпендикулярную прямую и всё.

Что известно о прямой «дэ»? Известна принадлежащая ей точка . Не хватает направляющего вектора.

По условию прямая должна быть перпендикулярна прямым , а значит, её направляющий вектор будет ортогонален направляющим векторам . Уже знакомый из Примера № 9 мотив, найдём векторное произведение:

Составим уравнения прямой «дэ» по точке и направляющему вектору :

Готово. В принципе, можно сменить знаки в знаменателях и записать ответ в виде , но необходимости в этом нет никакой.

Для проверки необходимо подставить координаты точки в полученные уравнения прямой, затем с помощью скалярного произведения векторов убедиться, что вектор действительно ортогонален направляющим векторам «пэ один» и «пэ два».

Как найти уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр?

в) Эта задачка посложнее будет. Чайникам рекомендую пропустить данный пункт, не хочу охлаждать вашу искреннюю симпатию к аналитической геометрии =) Кстати, и более подготовленным читателям, возможно, лучше тоже повременить, дело в том, что по сложности пример надо бы поставить последним в статье, но по логике изложения он должен располагаться здесь.

Итак, требуется найти уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых.

– это отрезок, соединяющий данные прямые и перпендикулярный данным прямым:

Вот наш красавец: – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых . Он единственный. Другого такого нет. Нам же требуется составить уравнения прямой , которая содержит данный отрезок.

Что известно о прямой «эм»? Известен её направляющий вектор , найденный в предыдущем пункте. Но, к сожалению, мы не знаем ни одной точки, принадлежащей прямой «эм», не знаем и концов перпендикуляра – точек . Где эта перпендикулярная прямая пересекает две исходные прямые? В Африке, в Антарктиде? Из первоначального обзора и анализа условия вообще не видно, как решать задачу…. Но есть хитрый ход, связанный с использованием параметрических уравнений прямой.

Решение оформим по пунктам:

1) Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:

Рассмотрим точку . Координат мы не знаем. НО . Если точка принадлежит данной прямой, то её координатам соответствует , обозначим его через . Тогда координаты точки запишутся в виде:

Жизнь налаживается, одна неизвестная – всё-таки не три неизвестных.

2) Такое же надругательство нужно осуществить над второй точкой. Перепишем уравнения второй прямой в параметрическом виде:

Если точка принадлежит данной прямой, то при вполне конкретном значении её координаты должны удовлетворять параметрическим уравнениям:

Или:

3) Вектор , как и ранее найденный вектор , будет направляющим вектором прямой . Как составить вектор по двум точкам, рассматривалось в незапамятные времена на уроке Векторы для чайников . Сейчас отличие состоит в том, что координаты векторов записаны с неизвестными значениям параметров. Ну и что? Никто же не запрещает из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Есть две точки: .

Находим вектор:

4) Поскольку направляющие векторы коллинеарны, то один вектор линейно выражается через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»:

Или покоординатно:

Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера . Но здесь есть возможность отделаться малой кровью, из третьего уравнения выразим «лямбду» и подставим её в первое и второе уравнение:

Таким образом: , а «лямбда» нам не потребуется. То, что значения параметров получились одинаковыми – чистая случайность.

5) Небо полностью проясняется, подставим найденные значения в наши точки:

Направляющий вектор особо не нужен, так как уже найден его коллега .

После длинного пути всегда интересно выполнить проверку.

:

Получены верные равенства.

Подставим координаты точки в уравнения :

Получены верные равенства.

6) Заключительный аккорд: составим уравнения прямой по точке (можно взять ) и направляющему вектору :

В принципе, можно подобрать «хорошую» точку с целыми координатами, но это уже косметика.

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?

г) Срубаем четвёртую голову дракона.

Способ первый . Даже не способ, а небольшой частный случай. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра: .

Крайние точки общего перпендикуляра найдены в предыдущем пункте, и задача элементарна:

Способ второй . На практике чаще всего концы общего перпендикуляра неизвестны, поэтому используют другой подход. Через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости, и расстояние между данными плоскостями равно расстоянию между данными прямыми. В частности, между этими плоскостями и торчит общий перпендикуляр.

В курсе аналитической геометрии из вышесказанных соображений выведена формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:
(вместо наших точек «эм один, два» можно взять произвольные точки прямых).

Смешанное произведение векторов уже найдено в пункте «а»: .

Векторное произведение векторов найдено в пункте «бэ»: , вычислим его длину:

Таким образом:

Гордо выложим трофеи в один ряд:

Ответ :
а) , значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать;
б) ;
в) ;
г)

Что ещё можно рассказать про скрещивающиеся прямые? Между ними определён угол. Но универсальную формулу угла рассмотрим в следующем параграфе:

Пересекающиеся прямые пространства обязательно лежат в одной плоскости:

Первая мысль – всеми силами навалиться на точку пересечения . И сразу же подумалось, зачем себе отказывать в правильных желаниях?! Давайте навалимся на неё прямо сейчас!

Как найти точку пересечения пространственных прямых?

Пример 14

Найти точку пересечения прямых

Решение : Перепишем уравнения прямых в параметрической форме:

Данная задача подробно рассматривалась в Примере № 7 данного урока (см. Уравнения прямой в пространстве ). А сами прямые, к слову, я взял из Примера № 12. Врать не буду, новые лень придумывать.

Приём решения стандартен и уже встречался, когда мы вымучивали уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.

Точка пересечения прямых принадлежит прямой , поэтому её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и им соответствует вполне конкретное значение параметра :

Но эта же точка принадлежит и второй прямой, следовательно:

Приравниваем соответствующие уравнения и проводим упрощения:

Получена система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными. Если прямые пересекаются (что доказано в Примере № 12), то система обязательно совместна и имеет единственное решение. Её можно решить методом Гаусса , но уж таким детсадовским фетишизмом грешить не будем, поступим проще: из первого уравнения выразим «тэ нулевое» и подставим его во второе и третье уравнение:

Последние два уравнения получились, по сути, одинаковыми, и из них следует, что . Тогда:

Подставим найденное значение параметра в уравнения:

Ответ :

Для проверки подставим найденное значение параметра в уравнения:
Получены те же самые координаты, что и требовалось проверить. Дотошные читатели могу подставить координаты точки и в исходные канонические уравнения прямых.

Кстати, можно было поступить наоборот: точку найти через «эс нулевое», а проверить – через «тэ нулевое».

Известная математический примета гласит: там, где обсуждают пересечение прямых, всегда пахнет перпендикулярами.

Как построить прямую пространства, перпендикулярную данной?

(прямые пересекаются)

Пример 15

а) Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой (прямые пересекаются).

б) Найти расстояние от точки до прямой .

Примечание : оговорка «прямые пересекаются» – существенна . Через точку
можно провести бесконечно много перпендикулярных прямых, которые будут скрещиваться с прямой «эль». Единственное решение имеет место в случае, когда через данную точку проводится прямая, перпендикулярная двум заданным прямым (см. Пример № 13, пункт «б»).

а) Решение : Неизвестную прямую обозначим через . Выполним схематический чертёж:

Что известно о прямой ? По условию дана точка . Для того, чтобы составить уравнения прямой, необходимо найти направляющий вектор. В качестве такого вектора вполне подойдёт вектор , им и займемся. Точнее, возьмём за шкирку неизвестный конец вектора.

1) Вытащим из уравнений прямой «эль» её направляющий вектор , а сами уравнения перепишем в параметрической форме:

Многие догадались, сейчас уже в третий раз за урок фокусник достанет белого лебедя из шляпы. Рассмотрим точку с неизвестными координатами. Поскольку точка , то её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям прямой «эль» и им соответствует конкретное значение параметра:

Или одной строкой:

2) По условию прямые должны быть перпендикулярны, следовательно, их направляющие векторы – ортогональны. А если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю:

Что получилось? Простейшее линейное уравнение с одной неизвестной:

3) Значение параметра известно, найдём точку:

И направляющий вектор:
.

4) Уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору :

Знаменатели пропорции получились дробные, и это как раз тот случай, когда от дробей уместно избавиться. Я просто умножу их на –2:

Ответ :

Примечание : более строгая концовка решения оформляется так: составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору . Действительно, если вектор является навправляющим вектором прямой, то коллинеарный ему вектор , естественно, тоже будет направляющим вектором данной прямой.

Проверка состоит из двух этапов:

1) проверяем направляющие векторы прямых на ортогональность;

2) подставляем координаты точки в уравнения каждой прямой, они должны «подходить» и там и там.

О типовых действиях говорилось очень много, поэтому я выполнил проверку на черновике.

Кстати, запамятовал ещё пунктик – построить точку «зю» симметричную точке «эн» относительно прямой «эль». Впрочем, есть хороший «плоский аналог», с которым можно ознакомиться в статье Простейшие задачи с прямой на плоскости . Здесь же всё отличие будет в дополнительной «зетовой» координате.

Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?

б) Решение : Найдём расстояние от точки до прямой .

Способ первый . Данное расстояние в точности равно длине перпендикуляра : . Решение очевидно: если известны точки , то:

Способ второй . В практических задачах основание перпендикуляра частенько тайна за семью печатями, поэтому рациональнее пользоваться готовой формулой.

Расстояние от точки до прямой выражается формулой:
, где – направляющий вектор прямой «эль», а – произвольная точка, принадлежащая данной прямой.

1) Из уравнений прямой достаём направляющий вектор и самую доступную точку .

2) Точка известна из условия, заточим вектор:

3) Найдём векторное произведение и вычислим его длину:

4) Рассчитаем длину направляющего вектора:

5) Таким образом, расстояние от точки до прямой:

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Напомним, что углом между скрещивающимися прямыми называется угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. Другими словами, если прямые l o и l 1 скрещиваются, то мы должны совершить параллельный перенос прямой l o , так чтобы получилась прямая l o ¢ , пересекающаяся с l 1 , и измерять угол между l o ¢ и l 1 .

Две скрещивающиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр. Его длина называется расстоянием между прямыми.

Пусть две прямые в пространстве заданы своими каноническими уравнениями:

l o: = = , l 1: = = . (35)

Тогда сразу можем сделать вывод, что (a 1 , a 2 , a 3)½½ l o , (b 1 , b 2 , b 3)½½ l 1 , A o (x o , y o , z o)Î l o , A 1 (x 1 , y 1 , z 1)Î l 1 . Составим матрицу

x 1 – x o y 1 – y o z 1 – z o

A = a 1 a 2 a 3 ,

b 1 b 2 b 3

и пусть D = detA .

Теорема 8. 1. Угол между l и p вычисляется по формуле

cos a = = . (36)

2. Прямые l o и l 1 скрещиваются Û D ≠ 0.

3. Прямые l o и l 1 пересекаются Û D = 0 и не коллинеарен .

4. l o ½½ l 1 Û rank A = 2 и ½½ .

5. l o = l 1 Û rank A = 1.

Доказательство. 1. Угол a между прямыми l o и l 1 может быть равен углу b между их направляющими векторами, а может быть смежным с ним. В первом случае

cos a = cos b = ,

а во втором случае

cos a = – cos b =½ cos b½ = .

Эта формула подойдет и к первому случаю. Обратите внимание, что на чертеже изображена не прямая l o , а параллельная ей прямая l o ¢ .

2, 3. Очевидно, что прямые l o и l 1 не параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы и не коллинеарны. При этом, прямые лежат в одной плоскости и пересекаются Û векторы, компланарны Û их смешанное произведение равно нулю: = 0. А в координатах это произведение точности равно D .

Соответственно, если D ≠ 0, то векторы, не компланарны, а значит, прямые l o и l 1 не лежат в одной плоскости Þ они скрещиваются.

4, 5. Если l o ½½ l 1 или l o = l 1 , то ½½ . Но в первом случае вектор неколлинеарен и, и поэтому первая строка в матрице A непропорциональна второй и третей строкам. Значит, rank A = 2.

Во втором случае все три вектора, коллинеарны друг другу, и поэтому, все строки

в матрицеA пропорциональны. Значит, rank A = 1.

И обратно, если || , то прямые l o и l 1 параллельны или совпадают; при этом, вторая и третья строки матрицы A пропорциональны. Если, при этом, rank A = 2, то первая строка матрицы непропорциональна второй и третьей, а значит, вектор неколлинеарен и Û l o || l 1 . Если же rank A = 1, то все строки в матрицеA пропорциональны, а значит, все три вектора, коллинеарны друг другу Û l o = l 1 .

Теорема 9. Пусть две прямые l o и l 1 в пространстве заданы своими каноническими уравнениями (35). Тогда

1. если l o ½½ l 1 , то расстояние между l o и l 1 находится по формуле

h = , (37)

2. если l o и l 1 скрещиваются, то расстояние между ними находится по формуле

h = . (38)

Доказательство. 1. Пусть l o ½½ l 1 . Отложим вектор от точки A o , и на векторах и построим параллелограмм. Тогда его высота h будет расстоянием между l o и l 1 . Площадь этого параллелограмма: S =½ ´½ , а основание равно ½ ½. Поэтому

h = S/ ½ ½ = (37).

2. Пусть l o и l 1 скрещиваются. Проведем через прямую l o плоскость p o ½½ l 1 , а через прямую l 1 проведем плоскость p 1 ½½ l o .

Тогда общий перпендикуляр к l o и l 1 будет общим перпендикуляром к p o и p 1 . Отложим векторы и из точки A o и на векторах, и построим параллелепипед. Тогда его нижнее основание лежит в плоскости p o , а верхнее – в плоскости p 1 . Поэтому высота параллелепипеда будет общим перпендикуляром к p o и p 1 , а ее величина h будет расстоянием между l o и l 1 . Объем параллелепипеда равен ½ ½, а площадь основания – ½´½ Þ

h = V/S осн = (38).

Следствие. Расстояние от точки A 1 (x 1 , y 1 , z 1) до прямой l , заданной уравнением

вычисляется по формуле (37).

Примеры решения задач.

1. Даны координаты вершин A (1,– 6), B (–3, 0), C (6, 9) треугольника ABC . Составить уравнение окружности описанной вокруг треугольника.

Решение. Для того, чтобы составить уравнение окружности нам необходимо знать ее радиус R и координаты центра О (a , b ). Тогда уравнение выглядит так:

(x –a ) 2 +(y –b ) 2 = R 2 .

Центр окружности, описанной вокруг треугольника находится на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника. Находим координаты середин M 1 (x 1 , y 1), и M 3 (x 3 , y 3) сторон BC и AB соответственно:

x 1 = = = , y 1 = = = , M 1 .

Аналогично M 3 (–1,–3).

Пусть l 3 – прямая, являющаяся серединным перпендикуляром к AB , а l 1 – к BC . Тогда = (– 4, 6) ^ l 3 и l 3 проходит через M 3 . Поэтому ее уравнение:

– 4(x +1) + 6(y +3) = 0.

Аналогично = (9, 9) ^ l 3 . Поэтому уравнение l 1:

9(x -) + 9(y -) = 0

x + y – 6 = 0.

Имеем О = l 1 I l 3 . Поэтому, чтобы найти координаты точки О необходимо решить совместно уравнения l 1 и l 3:

x + y – 6 = 0 ,

– 4x + 6y +14 = 0.

Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:

x + y – 6 = 0,

10y – 10 = 0.

Отсюда y = 1, x = 5, O (5, 1).

Радиус равен расстоянию от О до любой из вершин треугольника. Находим:

R =½½= = .

Значит уравнение окружности:

(x – 5) 2 + (y –1) 2 = 65.

2. В прямоугольном треугольнике ABC известныуравнение одного из катетов 3x – 2y + 5 = 0, координаты вершины C (–5,–5) и координаты середины O (– 3/2,–3) гипотенузы AB. Найти координаты

вершин A, B и координаты точки E, симметричной O относительно стороны BC. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника ABC .

Решение. Пусть катет, уравнение которого нам дано, – это СВ . Он задан общим уравнением вида

ax + by + c = 0.

В данном уравнении геометрический смысл

коэффициентов a и b – это координаты вектора нормали (a , b ). Поэтому (3,-2)^ВС .

Составим уравнение перпендикуляра l = OD к стороне СВ и найдем координаты точки D . Вектор будет параллелен OD , т.е. он является направляющим вектором этой прямой. Кроме этого, нам известны координаты точки О на этой прямой. Составляем параметрическое уравнение l :

x = – + 3t , (*)

y = – 3 - 2t .

Имеем D = l I BC . Поэтому, для того, чтобы найти координаты этой точки мы должны решить совместно уравнения l и BC . Подставляем x и y из уравнения l в уравнение BC :

3(– + 3t ) –2(–3 -2t )+5 = 0,

– + 9t +6 +4t +5 = 0,

13t = –, t D = – .

Подставляем найденное t в уравнение l и находим координаты точки D (–3,–2). Для того, чтобы найти координаты E вспомним физический смысл параметрического уравнения прямой: оно задает прямолинейное и равномерное движение. В нашем случае, начальная точка – это О ОE вдвое длиннее отрезка ОD . Если за время t D = – мы прошли путь от О до D , то путь от О до E мы пройдем за время t E = 2t D = –1. Подставляя это значение в (*), находим E (– 4,5;–1).

Точка D делит отрезок BC пополам. Поэтому

x D = , y D = .

Отсюда находим

x B = 2x D – x C = –1, y B = 2y D – y C =1, B (–1, 1).

Аналогично, используя тот факт, что О – середина АВ , находим координаты точки А (-2,-7). Возможен другой путь решения этой задачи: достроить ΔABC до параллелограмма.

Общие формулы деления отрезка в данном отношении выглядят так:

x С = , y D = ,

если точка С делит отрезок АВ в отношении l 1:l 2 , т.е. ½AC ½:½BC ½=l 1:l 2 .

Известно, что точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. В нашем случае Р делит СО в отношении 2:1. Поэтому

x P = = = – ,

y P = = = – .

Ответ: А (–2,–7), B (–1, 1), P .

3. Даны координаты вершин A (– 4,–2), B (9, 7), C (2,– 4) треугольника ABC. Составить общее уравнение биссектрисы AD и найти координаты точки D.

Решение. Из курса элементарной математики известно, что = . Вычисляем

(13, 9), (6,–2);

½½= = 5, ½½= = 2 .

x D = = = 4,

y D = = = – , D (4,–).

Составляем уравнение прямой, проходящей через точки A и D . Для неё вектор является направляющим. Но, в качестве направляющего мы можем взять любой вектор, коллинеарный. Например, удобно будет взять = , (7, 1). Тогда уравнение

AD : = y + 2 Û x – 7y – 10 = 0.

Ответ: D (4,–), AD : x – 7y – 10 = 0.

4. Даны уравнения двух медиан x – y – 3 = 0, 5x + 4y – 9 = 0 треугольника ABC и координаты вершины A (– 1, 2). Составьте уравнение третьей медианы .

Решение. Сначала мы убедимся, что точка A не принадлежит данным медианам. Медианы треугольника пересекаются в одной точке M . Поэтому они входят в пучок прямых, проходящих через M . Составим уравнение этого пучка:

l(x – y – 3) + m(5x + 4y – 9) = 0.

Коэффициенты l и m определяются с точностью до пропорциональности; поэтому можем считать, что m = 1 (если m = 0 то уравнение пучка задает только первую медиану, а искомая прямая не совпадает с ней). Получаем уравнение пучка:

(l + 5) x + (–l + 4) y – 3l – 9 = 0.

Нам из этого пучка надо выбрать прямую, проходящую через точку A (– 1, 2). Подставим её координаты в уравнение пучка:

– (l + 5) + 2(–l + 4) – 3l – 9 = 0,

– 6l – 6 = 0, l = –1.

Найденное значение l подставляем в уравнение пучка и получаем искомое уравнение медианы:

4x + 5y – 6 = 0.

Ответ: 4x + 5y – 6 = 0.

5. Даны координаты вершин треугольной пирамиды SABC : A (–3, 7, 1), B (–1, 9, 2), C (–3, 6, 6) S (6,–5,–2). Составить уравнение плоскости основания ABC и уравнение высоты SD. Найти координаты точки D и точки S ¢, симметричной S относительно плоскости основания.

Решение. Найдем координаты двух векторов параллельных плоскости основания p = ABC :

= (2, 1, 1), = (0,–1, 5).

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку A (x o , y o , z o) параллельно двум неколлинеарным векторам (a 1 , a 2 , a 3), (b 1 , b 2 , b 3) имеет вид

x – x o y – y o z – z o

a 1 a 2 a 3 = 0.

b 1 b 2 b 3

Подставляем в это уравнение наши данные:

x + 3 y – 7 z – 1

2 2 1 = 0.

0 –1 5

Раскрываем определитель:

Из уравнения плоскости находим, что вектор (11,–10,–2) является вектором нормали к плоскости. Этот же вектор будет направляющим для прямой h = SD . Параметрическое уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x o , y o , z o) с направляющим вектором (a 1 , a 2 , a 3) имеет вид

x = x o + a 1 t ,

y = y o + a 2 t ,

z = z o + a 3 t .

В нашем случае получаем уравнение:

x = 6 + 11t ,

h : y = –5 – 10t , (*)

z = –2 – 2t .

Найдем основание перпендикуляра. Это точка пересечения прямой с плоскостью p. Для этого мы должны решить совместно уравнения и p. Подставляем из уравнения l в уравнение π:

11(6 + 11t ) – 10(–5 – 10 t ) – 2(–2 – 2t ) + 105 = 0,

66 + 121 t + 50 + 100 t + 4 + 4 t + 105 = 0,

225 y = –225, t = –1.

Найденное t подставляем в уравнение l и находим координаты D (–5, 5, 0).

Вспомним физический смысл параметрического уравнения прямой: оно задает прямолинейное и равномерное движение. В нашем случае, начальная точка – это S , вектор скорости – это. Отрезок SS ¢вдвое длиннее отрезка SD и на его прохождение понадобится вдвое больше времени. Если за время t D = – 1 мы прошли путь от S до D , то путь от S до S ¢ мы пройдем за время t ¢= 2t D = –2. Подставляя это значение в (*), находим S ¢(–16, 15; 2).

Ответ: ABC : 11x – 10y – 2z +105 = 0, D (–5, 5, 0), S ¢(–16, 15; 2),

x = 6 + 11t ,

SD : y = –5 – 10t ,

z = –2 – 2t .

6. Даны уравнения прямой l плоскости p :

Убедиться, что l и p пересекаются и составить уравнение проекции l ¢ прямой l на плоскость. Найти угол между l и p .

Решение. Из уравнения прямой находим ее направляющий вектор: (1,–1, 2) и точку на этой прямой: A (6, 0, 2) , а из уравненияплоскости – векторнормали к плоскости:

(5,–2, 4). Очевидно, что если l ½½ p или , то ^ т.е. · = 0. Проверим:

· = 5·1 – 2·(–1) + 4·2 = 15 ¹ 0.

Значит, l пересекает π. Угол между l и pнаходим по формуле:

sin a = ;

|| = = , || = = = 3 .

sin a = = .

Пусть A o – проекция точки A на плоскость, а B = l Iπ . Тогда l ¢= A o B – это проекция прямой . Найдем сначала координаты точки B . Для этого перепишем уравнение прямой l в параметрическом виде:

x = 6 + t ,

l : y = – t ,

z = 2 + 2t ,

и решим его совместно с уравнением плоскости π . Подставляем из уравнения l в уравнение π :

5(6 + t ) – 2(– t ) + 4(2 + 2t ) + 7 = 0,

30 + 5t + 2t + 8 + 8t + 7 = 0,

15t = – 45, t = – 3.

Подставляя это t в уравнение l находим координаты B (3, 3, 4). Составим уравнение перпендикуляра h = AA o . Для прямой h вектор служит направляющим. Поэтому h задается уравнением

x = 6 + 5t ,

h : y = –2 t ,

z = 2 + 4t ,

Решаем его совместно с уравнением плоскости π, чтобы найти координаты точки A o:

5(6 + 5t ) – 2(–2t ) + 4(2 + 4t ) + 7 = 0,

30 + 25t + 4t + 8 + 16t + 7 = 0,

45t = – 45, t = – 1.

Подставляем это t в уравнение h и находим A o (1, 2,–2). Находим направляющий вектор прямой l" : A o B (2, 1,–2) и получаем ее уравнение:

.

7. Прямая l в пространстве задана системой уравнений

2x +2y – z – 1=0,

4x – 8y + z – 5= 0,

и даны координаты точки A (–5,6,1). Найти координаты точки В, симметричной А относительно прямой l .

Решение. Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую l . Сначала мы найдем координаты точки P . Для этого мы составим уравнение плоскости p, проходящей через точку A перпендикулярно плоскостям p 1 и p 2 . Находим векторы нормали к этим плоскостям: (2, 2,–1), (4,–8, 1). Для плоскости p они будут направляющими. Поэтому уравнение этой плоскости:

x + 5 y – 6 z – 1

2 2 –1 = 0.

4 –8 1

– 6(x + 5) – 6(y – 6) –24(z – 1) = 0 .

Прежде чем раскрывать скобки обязательно

Сначала делим все уравнение на – 6:

x + 5 + y – 6 + 4(z – 1) = 0,

x+ y+ 4z – 5 = 0.

Теперь P – точка пересечения плоскостей p , p 1 и p 2 . Для того, чтобы найти ее координаты мы должны решить систему, составленную из уравнений этих плоскостей:

x + y + 4z – 5 = 0,

4x – 8y + z – 5 = 0,

2x + 2y – z – 1 = 0.

Решая ее по методу Гаусса, находим P (1,0,1). Далее, используя тот факт, что P – середина AB мы находим координаты точки B (7,–6,1).

Точку P можно найти другим способом, как ближайшую к A точку прямой l . Для этого необходимо составить параметрическое уравнение этой прямой. Как это делается, см. задачу 10 . Дальнейшие действия см. в задаче 8 .

8. В DABC с вершинами A (9, 5, 1), B (–3, 8, 4), C (9,–13,–8) проведена высота AD. Найти координаты точки D , составить уравнение прямой AD , вычислить h =½AD ½ и проверить h, вычислив S D ABC с помощью векторного произведения .

Решение. Очевидно, что точку D можно найти так: D = π I BC , где π – это плоскость, которая проходит через точку A перпендикулярно стороне BC . Для этой плоскости служит вектором нормали. Находим (12,–21,–12). Координаты этого вектора нацело делятся на 3. Поэтому в качестве вектора нормали к p можем взять = , (4,–7,– 4). Уравнение плоскости π, проходящей через точку A o (x o , y o , z o) перпендикулярно вектору (a , b , c ), имеет вид:

a (x – x o) + b (y – y o) + c (z – z o) = 0.

В нашем случае:

4(x – 9) - 7(y – 5) - 4(z – 1) = 0,

4x - 7y - 4z + 3 = 0,

Составим уравнение прямой BC . Для нее вектор будет направляющим:

x = –3 + 4t ,

BC : y = 8 – 7t , (*)

z = 4 – 4t ,

Поскольку D = π I BC , для нахождения координат точки D нужно решить совместно уравнения π и BC . Подставляем из уравнения BC в уравнение π:

4(–3 + 4t ) – 7(8 – 7t ) – 4(4 – 4t ) + 3 = 0,

–12 + 16 t – 56 + 49t – 16 + 16 t + 3 = 0,

81t = 81, t = 1.

Подставляем это t в уравнение прямой BC и находим D (1, 1, 0). Далее, зная координаты точек A и D , составляем уравнение прямой AD вычисляем по формуле расстояния между точками:

i j k i j k

´ = –12 3 3 = –27· – 4 1 1 = –27(–i + 4j – 8k ) .

0 –18 –9 0 2 1

(В процессе вычисления мы воспользовались свойством определителя: общий множитель элементов одной строки можно выносить за знак определителя).

S ΔABC = · 27 = .

С другой стороны S ΔABC = | |·h . Отсюда h = . Находим

Поэтому h = 9. Это совпадает с ранее найденным ответом.

Точку D можно найти, как ближайшую к A точку прямой BC , используя методы дифференциального исчисления. Пусть M (t ) – произвольная точка прямой BC ; её координаты определяются системой (*):

M (–3 + 4t , 8 – 7t , 4 – 4t ).

Находим квадрат расстояние от точки A до M (t ):

h 2 (t ) = (9 + 3 – 4t ) 2 + (5 – 8 + 7t ) 2 + (1 – 4 + 4t ) 2

= (12 – 4t ) 2 + (–3 + 7t ) 2 + (–3 + 4t ) 2 =

144 – 96t + 16t 2 + 9 – 42t + 49t 2 + 9 – 24t + 16t 2 =

81t 2 – 162t + 162.

Найдем наименьшее значение функции h 2 (t ) с помощью производной:

h 2 (t ) = 162t – 162; h 2 (t ) = 0 Þ t = 1.

Подставляем это значение t в уравнение прямой BC и находим, что D (1, 1, 0) является ближайшей к A точкой на прямой BC .

9. Исследовать взаимное расположение следующих пар плоскостей (пересекаются, параллельны, совпадают ). Если плоскости пересекаются, то найдите угол между ними, если параллельны – расстояние между ними .

а). p 1: 2y + z + 5 = 0, p 2: 5x + 4y – 2z +11 = 0.

Решение. Если плоскости p 1 и p 2 заданы своими общими уравнениями

a 1 x + b 1 y + c 1 z +d 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 z +d 2 = 0,

p 1 ½½ p 2 Û = = ¹ ,

p 1 = p 2 Û = = = .

В нашем случае ¹ ¹ , поэтому плоскости не параллельны и не совпадают. Значит, они пересекаются. Угол между плоскостями вычисляется по формуле

cos a = ,

где и – векторы нормали к этим плоскостям. В нашем случае

(0, 2, 1), (5, 4,–2), · = 0·5 + 2· 4 + 1·(–2);

|| = = , || = = 3 .

Значит, cos a = = .

Ответ: a = arccos .

б) p 1: x – y + 2z + 8 = 0,

p 2: 2x – y + 4z –12 = 0.

Решение. Проверяем на параллельность или совпадение:

Значит, p 1 ½½ p 2 но p 1 ¹ p 2 . Расстояние от точки A (x , y , z ) до плоскости, заданной уравнением находится по формуле

h = .

Выберем точку А Îp 1 . Для этого надо подобрать любые три координаты, удовлетворяющие уравнению p 1 . В нашем случае, самое простое: A o (0, 8, 0). Расстояние от A o до p 2 и будет расстоянием между p 1 и p 2:

h = = .

10. Составить уравнение плоскости p, которая делит пополам тот из двугранных углов между плоскостями

p 1: 2x – y + 2= 0, p 2: 5x + 4y – 2z –14 = 0,

который содержит данную точку А (0, 3,–2). Составить параметрическое уравнение прямой l = p 1 Ip 2 ;

Решение. Если точка лежит на плоскости p, которая делит двугранный угол пополам, то расстояния h 1 и h 2 от этой точки до p 1 и до p 2 равны.

Находим эти расстояния и приравниваем их:

Модули мы можем раскрывать с одинаковыми или разными знаками. Поэтому можем получить 2 ответа, т.к. p 1 и p 2 образуют два двугранных угла. Но в условии требуется найти уравнение плоскости, которая делит пополам тот угол, в котором находится точка А . Значит координаты точки М при подстановке в левые части уравнений данных плоскостей p 1 и должны такие же знаки, что и координаты точки А . Легко проверить, что эти знаки для p 1 и «+» для p 2 . Поэтому мы раскрываем первый модуль со знаком «–», а второй – со знаком «+»:

3(-2x + y - 2) = 5x + 4y – 2z –14,

p:11x + y - 2z - 14 = 0.

Для того, чтобы составить уравнение прямой l , нам нужно найти направляющий вектор этой прямой и точку на ней.

Из уравнений p 1 и p 2 находим координаты векторов нормали к этим плоскостям: (2,–1, 0), (5, 4,–2). Направляющий вектор прямой l перпендикулярен и. Такой можно найти с помощью векторного произведения (по определению, если = ´ , то ^ и ^):

= ´ = 2 –1 0 = 2i + 4j + 13k .

Для того, чтобы найти координаты одной точки на прямой, мы должны найти частное решение системы уравнений

Поскольку уравнений два, а неизвестных три, то система имеет бесконечное количество решений. Нам достаточно подобрать одно. Проще всего положить x = 0 и тогда находим

Þ z = – 3, .

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку B (x o , y o , z o) параллельно вектору (a 1 , a 2 , a 3), имеет вид:

В нашем случае имеем уравнение:

l : = = .

Ответ: p: 11x + y – 2z = 0, l : = = .

11. Даны уравнения двух прямых в пространстве :

x = –1 – t , x = –3 + 2t ¢,

l 1: y = 6 + 2 t , l 2: y = –2 – 3t ¢,

z = 5 + 2t , z = 3 – 2t ¢.

Доказать, что данные прямые скрещиваются и составить уравнение их общего перпендикуляра.

Решение. Из уравнений прямых находим координаты их направляющих векторов: (–1, 2, 2), (2,–3,–2) и точек l 1 , а значит, является направляющим вектором общего перпендикуляра к этим прямым. Мы уже нашли его коор-динаты: (2, 2,–1). Для того, чтобы

составить уравнение h нам нужно найти координаты одной точки на этой прямой. Для этого мы составим уравнение плоскости π, проходящей через l 1 и h . Для нее векторы, будут направляющими, и A Îp.

x – 1 y – 2 z – 1

– 6(x – 1) + 3(y – 2) – 6(z – 1) = 0.

– 2(x – 1) + (y – 2) – 2(z – 1) = 0.

p: –2x + y – 2z + 2 = 0.

Находим точку пересечения l 2 и π . Для этого из уравнения l 2 подставляем в уравнение π:

–2(–3 + 2t ¢) –2 + 3t ¢ – 2(3 – 2t ¢) + 2 = 0,

6 – 4t ¢ – 2 – 3t ¢ – 6 – 4t ¢ + 2 = 0,

–7t ¢= 0, t ¢= 0.

Подставляем найденное t ¢ в

Если две прямые пересекаются или параллельны, то они лежат в одной плоскости. Однако в пространстве две прямые могут быть расположены так, что они не лежат в одной плоскости, то есть не существует такой плоскости, которая проходит через обе эти прямые. Ясно, что такие прямые не пересекаются и не параллельны.

В пространстве рассматриваются три случая возможного расположения двух прямых. Две прямые в пространстве могут:

1. Лежать в одной плоскости и иметь общую точку;

2. Лежать в одной плоскости и не иметь общих точек;

Не лежать в одной плоскости и, следовательно, не иметь общих точек.

Определение : Две прямые называются пересекающимися, если они имеют общую точку.

Определение : Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или совпадают.


Определение : Две прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны (не лежат в одной плоскости).

Обозначение : a · b

ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ

Теорема : Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые скрещиваются.

Дано : ; ; .

Доказать : a · b

Доказательство : (методом от противного)

Предположим противоположное тому, что требуется доказать, то есть, что данные прямые пересекаются или параллельны: .

Через две пересекающиеся или параллельные прямые можно провести единственную плоскость, следовательно, существует некоторая плоскость, в которой лежат данные прямые: .

По условию теоремы .

По предположению .

Из условия теоремы и из предположения следует, что обе плоскости проходят через прямую «а» и не принадлежащую ей точку М. А так как через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость, следовательно, плоскости совпадают. .

По предположению .

По условию .

Получили противоречие с условием теоремы, следовательно, предположение не верно, а верно то, что требовалось доказать, то есть прямые скрещиваются: a · b.